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资金时间价值和复利终值与现值

2018-03-25 19:08:30 复利

一、资金时间价值的概念

1.定义:资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量的差额。

【提示】理解资金时间价值要把握两个要点:(1)不同时点;(2)价值量差额

 2.资金时间价值的衡量(量的规定)

理论上,资金时间价值等于没有风险、没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率,(纯利率)。

实际工作中,可以用通货膨胀率很低条件下的政府债券利率来表现时间价值。 

二、终值和现值的计算

1.终值又称将来值,是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值,俗称“本利和”,通常记作“F”。

2.现值,是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值,俗称“本金”,通常记作“P”。

现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值,其差额即为资金的时间价值。生活中计算利息时所称本金、本利和的概念,相当于资金时间价值理论中的现值和终值,利率(用i表示)可视为资金时间价值的一种具体表现:现值和终值对应的时点之间可以划分为n期(n≥1),相当于计息期。 

【注意】终值与现值概念的相对性。

【思考】现值与终值之间的差额是什么?两者之间的差额是利息。 

三、利息的两种计算方式:

1.单利计息方式:只对本金计算利息。以本金为基数计算利息,所生利息不再加入本金滚动计算下期利息(各期的利息是相同的)。

2.复利计息方式:既对本金计算利息,也对前期的利息计算利息。将所生利息加入本金,逐年滚动计算利息的方法(各期的利息是不同的)。

【提示】除非特别指明,在计算利息的时候使用的是复利计息。 

四、复利终值与现值

1.复利终值

复利终值的计算公式为:

F=P(1+i)n

在上式中,(1+i)n称为“复利终值系数”,用符号(F/P,i,n)表示。这样,上式就可以写为:

F=P(F/P,i,n)

【提示】在平时做题时,复利终值系数可以查表得到。考试时,一般会直接给出。但需要注意的是,考试中系数是以符号的形式给出的。因此,对于有关系数的表示符号需要掌握。 

【教材例11-4】某人将100元存入银行,复利年利率2%,求5年后的终值。

解答:5年后的终值=100×(1+2%)5 =100×(F/P,2%,5)=110.4(元)

【注意】

(1)如果其他条件不变,在期数为1时,复利终值和单利终值是相同的。

(2)在财务管理中,如果不加注明,一般均按照复利计算。

 

2.复利现值 

复利现值的计算公式为:  

上式中,(1+i)-n称为“复利现值系数”,用符号(P/F,i,n)表示,平时做题时,可查表得出,考试时一般会直接给出。

【例题·计算题】某人存入一笔钱,想5年后得到10万,若银行存款利率为5%,要求计算按照复利计息,现在应存入银行多少资金?

【答案】

按照复利计息:P=10×(1+5%)-5 =10×(P/F,5%,5)=10×0.783=7.83(万元)。

【结论】

(1)复利终值和复利现值互为逆运算;

(2)复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数。

【提示】系数间的关系:

单利终值系数与单利现值系数互为倒数关系;

复利终值系数与复利现值系数互为倒数关系。

五、年金的终值和现值的计算(重点) 

(一)年金的含义

年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项,通常记作A。具有两个特点:一是金额相等;二是时间间隔相等。也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。在现实工作中年金应用很广泛。例如,分期付款赊购、分期偿还贷款、分期发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等,都属于年金收付形式。 

(二)年金的种类

年金按其每次收付款项发生的时点不同,可以分为四种:

普通年金(后付年金):从第一期开始每期期末收款、付款的年金。

预付年金(先付年金、即付年金):从第一期开始每期期初收款、付款的年金。与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。

递延年金:从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。

永续年金:无限期的普通年金。

注意:各种类型年金之间的关系 

(1)普通年金和即付年金

区别:普通年金的款项收付发生在每期期末,即付年金的款项收付发生在每期期初。

联系:第一期均出现款项收付。

【例题·单选题】2007年1月1日,甲公司租用一层写字楼作为办公场所,租赁期限3年,每年12月31日支付租金10万元,共支付3年。该租金有年金的特点,属于(    )。

A.普通年金           B.即付年金            C.递延年金           D.永续年金

【答案】A

【解析】从第一期开始每期期末收款、付款的年金是普通年金。

(2)递延年金和永续年金

二者都是在普通年金的基础上演变而来的,它们都是普通年金的特殊形式。它们与普通年金的共同点有:它们都是每期期末发生的。区别在于递延年金前面有一个递延期,也就是前面几期没有现金流,永续年金没有终点。

在年金的四种类型中,最基本的是普通年金,其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。

【提示】

1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年,可以是半年、一个季度或者一个月等。

2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始,如一年的间隔期,不一定是从1月1日至12月31日,可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【例题·判断题】年金是指每隔一年,金额相等的一系列现金流入或流出量。(   )

【答案】×

【解析】在年金中,系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意:如果本题改为“每隔一年,金额相等的一系列现金流入或流出量,是年金”则是正确的。即间隔期为一年,只是年金的一种情况。

(三)年金的计算

1.普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内,每期期末等额收入或支出的本利和,也就是将每一期的金额,按复利换算到最后一期期末的终值,然后加总,就是该年金终值。

例如:每年年末存款1元,年利率为10%,经过5年,逐年的终值和年金终值,可计算如下:

1元1年的终值=1.000元(因为年末存入)

  1元2年的终值=1×(1+10%)1=1.100(元)

  1元3年的终值=1×(1+10%)2=1.210(元)

  1元4年的终值=1×(1+10%)3=1.331(元)

  1元5年的终值=1×(1+10%)4=1.464(元)

然后加总,1元年金5年的终值=6.105(元)

 

如果年金的期数很多,用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等,折算终值的系数又是有规律的,所以,可找出简便的计算方法。

设每年的支付金额为A,利率为i,期数为n,普通年金终值的计算公式:

式中, 称为“年金终值系数”,记作(F/A,i,n),平时做题可查表得到,考试时,一般会直接给出该系数。

注意:年金终值系数=(复利终值系数-1)/i

 

【教材例11-5】(P321)小王是位热心于公众事业的人,自1995年12月底开始,他每年都要向一位失学儿童每年捐款1000元,帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%,则小王9年的捐款在2003年年底相当于多少钱?

【提示1】该题目要求计算的是年金终值;已知每期等额的系列支付计算最终的金额。

【提示2】由于期数太多,直接用普通年金终值系数计算简单。

解答:F=A×[(1+i)n-1]/i=1000×[(1+2%)9-1]/2%=9754.6(元)

或者:F=A×(F/A ,2% , 9)=1000×9.755=9754.6(元)

注:9.755 是通过查表计算出来的。

 

2.普通年金现值的计算 

普通年金的计算实际上就是已知年金A,求普通年金现值P。

P=A× =A×(P/A,i,n )

式中, 称为“年金现值系数”,记作(P/A,i,n),平时做题可查表得到,考试时,一般会直接给出该系数。

【教材例11-8】(P323)某投资项目于2000年初动工,设当年投产,从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算,计算预期l0年收益的现值。

解答:P=40000×[1-(1+6%)-10]/6%

=40000×(P/A,6%,l0)

=40000×7.3601

    =294404(元)

复利现值系数、复利终值系数、年金现值系数、年金终值系数一方面是通过计算公式计算出来的,另一方面是通过查表得出来的(针对考试的时候期数比较多的话题目会直接给出计算的表)。
(P/F, 5% ,5)=0.783

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